【題目】如圖,已知橢圓,橢圓的長軸長為8,離心率為.
求橢圓方程;
橢圓內接四邊形ABCD的對角線交于原點,且,求四邊形ABCD周長的最大值與最小值.
【答案】(1); (2)四邊形ABCD的周長的最小值為,最大值為20..
【解析】
(1)由題意可得a=4,運用離心率公式可得c,再由a,b,c的關系可得b,進而得到橢圓方程;
(2)由題意的對稱性可得四邊形ABCD為平行四邊形,運用向量的數量積的性質,可得22,即有四邊形ABCD為菱形,即有AC⊥BD,討論直線AC的斜率為0,可得最大值;不為0,設出直線AC的方程為y=kx,(k>0),則BD的方程為yx,代入橢圓方程,求得A,D的坐標,運用兩點的距離公式,化簡整理,由二次函數的最值求法,可得最小值.
由題意可得,即,
由,可得,,
即有橢圓的方程為;
由題意的對稱性可得四邊形ABCD為平行四邊形,
由,可得,
即,
可得,即有四邊形ABCD為菱形,
即有,
設直線AC的方程為,,則BD的方程為,
代入橢圓方程可得,
可設,
同理可得,
即有
,
令,
即有,
由,
即有,即時,取得最小值,且為;
又當AC的斜率為0時,BD為短軸,即有ABCD的周長取得最大值,且為20.
綜上可得四邊形ABCD的周長的最小值為,最大值為20.
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【題目】下列命題正確的是( )
A.復數z1,z2的模相等,則z1,z2是共軛復數
B.z1,z2都是復數,若z1+z2是虛數,則z1不是z2的共軛復數
C.復數z是實數的充要條件是z=(是z的共軛復數)
D.已知復數z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虛數單位),它們對應的點分別為A,B,C,O為坐標原點,若(x,y∈R),則x+y=1
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【題目】已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓C的離心率為,且經過點M(1,),過點P(2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,滿足?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】某高級中學今年高一年級招收“國際班”學生人,學校為這些學生開辟了直升海外一流大學的綠色通道,為了逐步提高這些學生與國際教育接軌的能力,將這人分為三個批次參加國際教育研修培訓,在這三個批次的學生中男、女學生人數如下表:
第一批次 | 第二批次 | 第三批次 | |
女 | |||
男 |
已知在這名學生中隨機抽取名,抽到第一批次、第二批次中女學生的概率分別是.
(1)求的值;
(2)為了檢驗研修的效果,現從三個批次中按分層抽樣的方法抽取名同學問卷調查,則三個批次被選取的人數分別是多少?
(3)若從第(2)小問選取的學生中隨機選出兩名學生進行訪談,求“參加訪談的兩名同學至少有一個人來自第一批次”的概率.
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【題目】已知數列和滿足,,,.
(1)證明:是等比數列,是等差數列;
(2)求和的通項公式;
(3)令,求數列的前項和的通項公式,并求數列的最大值、最小值,并指出分別是第幾項.
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【題目】已知點和動點,以線段為直徑的圓內切于圓.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)已知點, ,經過點的直線與動點的軌跡交于, 兩點,求證:直線與直線的斜率之和為定值.
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【題目】選修4—4:極坐標與參數方程
在平面直角坐標系中,將曲線 (為參數) 上任意一點經過伸縮變換后得到曲線的圖形.以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線.
(Ⅰ)求曲線和直線的普通方程;
(Ⅱ)點P為曲線上的任意一點,求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標.
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【題目】某中學為了解高一學生的視力健康狀況,在高一年級體檢活動中采用統(tǒng)一的標準對數視力表,按照《中國學生體質健康監(jiān)測工作手冊》的方法對1039名學生進行了視力檢測,判斷標準為:雙眼裸眼視力為視力正常, 為視力低下,其中為輕度, 為中度, 為重度.統(tǒng)計檢測結果后得到如圖所示的柱狀圖.
(1)求該校高一年級輕度近視患病率;
(2)根據保護視力的需要,需通知檢查結果為“重度近視”學生的家長帶孩子去醫(yī)院眼科進一步檢查和確診,并開展相應的矯治,則該校高一年級需通知的家長人數約為多少人?
(3)若某班級6名學生中有2人為視力正常,則從這6名學生中任選2人,恰有1人視力正常的概率是多少?
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