Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A（-2，0），過(guò)右焦點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線y=kx+m（k＜0，m＞b＞0）與y軸交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若

1

|PM|

+

1

|PN|

=

3

|PQ|

．求證：直線y=kx+m過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意a=2，利用過(guò)右焦點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3，求出b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+m（k＜0，m＞0）與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與x軸交于點(diǎn)Q（-

m

k

，0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

1

|PM|

+

1

|PN|

=

3

|PQ|

，可得

x1+x2

x1x2

=-

3k

m

，y=kx+m代入橢圓方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由題意a=2，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的弦為MN，將M（c，x_M）代入橢圓方程可得y_M=±

2b2

a

，
∴

2b2

a

=3，∴b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：直線y=kx+m（k＜0，m＞0）與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與x軸交于點(diǎn)Q（-

m

k

，0），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
|PM|=

1+k2

x₁，|PN|=

1+k2

x₂，|PQ|=-

1+k2

•

m

k

，
∵

1

|PM|

+

1

|PN|

=

3

|PQ|

，
∴

1

x1

+

1

x2

=-3•

k

m

，
∴

x1+x2

x1x2

=-

3k

m

，
y=kx+m代入橢圓方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=

-8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴

-8km

4m2-12

=-

3k

m

，
∵m＞0，
∴m=3，
∴y=kx+m恒過(guò)點(diǎn)（0，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生析解決問(wèn)題的能力，有難度．