某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的原材料費為每件40元,若用x表示該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù),則電力與機器保養(yǎng)等費用為每件0.05x元,又該廠職工工資固定支出12500元.
(1)把每件產(chǎn)品的成本費P(x)(元)表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù),并求每件產(chǎn)品的最低成本費;
(2)如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過3000件,且產(chǎn)品能全部銷售,根據(jù)市場調(diào)查:每件產(chǎn)品的銷售價Q(x)與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系:Q(x)=170-0.05x,試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時,總利潤最高?(總利潤=總銷售額-總成本)
(1)P(x)=+40+0.05x,每件產(chǎn)品成本的最小值為90元
(2)生產(chǎn)650件產(chǎn)品時,總利潤最高,最高總利潤為29750元
解:(1)P(x)=+40+0.05x,
由基本不等式得
P(x)≥2+40=90.
當且僅當=0.05x,即x=500時,等號成立.
∴P(x)=+40+0.05x,每件產(chǎn)品成本的最小值為90元.
(2)設(shè)總利潤為y元,則
y=xQ(x)-xP(x)=-0.1x2+130x-12500=-0.1(x-650)2+29750.
當x=650時,ymax=29750.
答:生產(chǎn)650件產(chǎn)品時,總利潤最高,最高總利潤為29750元.
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