Question

（2009•紅橋區(qū)二模）某電視臺(tái)娛樂節(jié)目，為了使節(jié)目的趣味性、知識(shí)性融于一體，采取了答題過關(guān)的形式，每位選手最多有5次答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題進(jìn)入過下一關(guān)的機(jī)會(huì)，答錯(cuò)3題則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為

2

3

．
（Ⅰ）求選手甲恰好第一次、第三次、第五次答對(duì)題的概率；
（Ⅱ）求選手甲可進(jìn)入下一關(guān)的概率；
（Ⅲ）設(shè)選手甲在答題過關(guān)時(shí)答題的個(gè)數(shù)為ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式解之即可；
（Ⅱ）由于答對(duì)3題者進(jìn)入下一關(guān)，故可分為三類：一類是三題全對(duì)；一類是答4題，前3題錯(cuò)一題，第4題答對(duì)；一類是答5題，前4題錯(cuò)兩題，第5題答對(duì)，故可求求選手甲可進(jìn)入下一關(guān)的概率；
（Ⅲ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式分別求出相應(yīng)的概率，從而得出ξ的分布列，進(jìn)而可求概率．

解答：解：（Ⅰ）選手甲恰好第一次、第三次、第五次答對(duì)題的概率為(

2

3

)3•(

1

3

)2=

8

243

 …2分
（Ⅱ）選手甲答3道題可進(jìn)入下一關(guān)的概率為(

2

3

)3=

8

27

；  …3分
選手甲答4道題可進(jìn)入決賽的概率為

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

=

8

27

；…5分
選手甲答5道題可進(jìn)入決賽的概率為

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

=

16

81

； …7分
∴選手甲可進(jìn)入決賽的概率P=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

．        …9分
（Ⅲ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．則有
P（ξ=3）=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

，
P（ξ=5）=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

+

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

1

3

=

8

27

，
P（ξ=4）=1-P（ξ=3）-P（ξ=5）=1-

1

3

-

8

27

=

10

27

，…12分
因此，有

ξ	3	4	5
p	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．          …14分．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量的期望與方差，主要考查等可能事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，本題是一個(gè)綜合題目，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，在應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式時(shí)，注意數(shù)字運(yùn)算不要出錯(cuò)．