Question

15．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿(mǎn)足MF₁⊥MF₂的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由已知得M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半焦距c為半徑的圓，該圓內(nèi)含于橢圓，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），得F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
∵M(jìn)F₁⊥MF₂，
∴M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半焦距c為半徑的圓．
又∵M(jìn)點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，
∴該圓內(nèi)含于橢圓，可得c＜b，
平方得c²＜b²，即c²＜a²-c²．
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$，可得離心率e滿(mǎn)足：0＜e＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴橢圓離心率的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．