Question

20．拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F且斜率為l的直線，交E于A，B兩點，線段AB的中點M的縱坐標為2．
（1）求點M到E的準線的距離；
（2）設E的準線與x軸的交點為P，將直線l繞點F旋轉(zhuǎn)直某一位置得直線l′，l′交E與C，D兩點，E上是否存在一點N，滿足$\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PN}$？若存在，求直線l′的斜率；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先假設A，B的坐標，根據(jù)A，B滿足拋物線方程，將其代入得到兩個關(guān)系式，再將兩個關(guān)系式相減，根據(jù)直線的斜率和線段AB的中點的縱坐標的值可求出p的值，進而得到焦點和準線方程，由斜率公式可得M的橫坐標，即可得到所求距離；
（2）設出直線l'的方程，代入拋物線方程，運用韋達定理，E上假設存在一點N，滿足$\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PN}$，設N（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），由向量的坐標運算，即可判斷是否存在．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則有y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
兩式相減得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
又因為直線的斜率為1，所以$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
所以有y₁+y₂=2p，又線段AB的中點的縱坐標為2，
即y₁+y₂=4，所以p=2，
所以拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準線方程為x=-1．
MF的斜率為1，可得M的橫坐標為3，
即有M（3，2）到準線的距離為3+1=4；
（2）由拋物線的準線方程，可得P（-1，0），
可設直線l'：y=k（x-1），
設C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），
將直線l'方程代入拋物線方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
 即有x₃+x₄=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
y₃+y₄=k（x₃+x₄-2）=$\frac{4}{k}$，
E上假設存在一點N，滿足$\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PN}$，
設N（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），則x₃+x₄+2=$\frac{{n}^{2}}{4}$+1，y₃+y₄=n，
即有n=$\frac{4}{k}$，且3+$\frac{4}{{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
即為3+$\frac{{n}^{2}}{4}$=$\frac{{n}^{2}}{4}$，無解．
故E上不存在一點N，滿足$\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PN}$．

點評 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，向量的坐標運算等基礎知識，屬于中檔題．