Question

18．求函數(shù)y=（1+sinx）（1+cosx）的值域．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sinx（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，換元由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：化簡可得y=（1+sinx）（1+cosx）
=1+sinx+cosx+sinxcosx，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sinx（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴平方可得t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
換元可得y=1+t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
由二次函數(shù)知識可得當t=-1時，函數(shù)取最小值0；
當t=$\sqrt{2}$時，函數(shù)取最大值$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
∴原函數(shù)的值域為[0，$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$]

點評 本題考查三角函數(shù)的值域，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的值域，屬基礎(chǔ)題．