【題目】關(guān)于函數(shù),給出以下四個命題,其中真命題的序號是_______.

時,單調(diào)遞減且沒有最值;

②方程一定有解;

③如果方程有解,則解的個數(shù)一定是偶數(shù);

是偶函數(shù)且有最小值.

【答案】②④

【解析】

①將函數(shù)表示為分段函數(shù),結(jié)合分式型函數(shù)的單調(diào)性進行判斷;②由函數(shù)是偶函數(shù),在時,判定函數(shù)與函數(shù)時有唯一交點,同理得出,當時,函數(shù)與函數(shù)時有交點,從而可得方程有解;③求方程的解,即可判斷出命題③的正誤;④利用偶函數(shù)的定義判定函數(shù)為偶函數(shù),再利用絕對值的性質(zhì)得出,即可判斷出命題④的正誤.

對于命題①,當時,.

時,,則函數(shù)上單調(diào)遞增,此時,,當時,,

時,,則函數(shù)上單調(diào)遞減,

所以,當時,函數(shù)不單調(diào)且沒有最值,命題①錯誤;

對于命題②,當時,,當時,

時,構(gòu)造函數(shù)

則函數(shù)上單調(diào)遞增,

時,,當時,,

所以,函數(shù)上有且只有一個零點,

即當時,方程上有解.

函數(shù)的定義域為,關(guān)于原點對稱,,則函數(shù)為偶函數(shù),

同理可知,當時,方程上有解.

所以,命題②正確;

對于命題③,當時,令,解得,則命題③錯誤;

對于命題④,由②可知,函數(shù)是偶函數(shù),由絕對值的性質(zhì)可知,則函數(shù)為偶函數(shù)且最小值為,命題④正確.

因此,正確命題的序號為②④.

故答案為:②④.

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1)曲線一定經(jīng)過原點;

2)曲線關(guān)于軸、軸對稱;

3的面積不大于;

4)曲線在一個面積為的矩形范圍內(nèi).

A.B.C.D.

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