【題目】對于任意,若數(shù)列滿足,則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.

1)已知數(shù)列:1,是“K數(shù)列”,求實數(shù)m的取值范圍;

2)是否存在首項為-1的無窮等差數(shù)列為“K數(shù)列”,且其前n項和滿足:,若存在,求出的通項公式;若不存在,請說明理由;

3)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列(至少有4項)為“K數(shù)列”,數(shù)列不是“K數(shù)列”,若,是否存在,使為“K數(shù)列”?若存在,請求出,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)(2)這樣的等差數(shù)列不存在,詳見解析(3)答案不唯一,具體見解析

【解析】

(1)直接根據(jù)“K數(shù)列”的定義列出關(guān)于的不等式求解即可.

(2) 假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求,設(shè)公差為d,再求得,再利用分析公差滿足的條件是否能夠成立即可.

(3) 設(shè)數(shù)列的公比為q,,再根據(jù)等比數(shù)列為“K數(shù)列”,數(shù)列不是“K數(shù)列”求出前兩項的關(guān)系,再根據(jù)前兩項的關(guān)系分情況討論是否能夠滿足為“K數(shù)列”即可.

(1)由題意得,①,②

解①得;解②得.

所以,故實數(shù)m的取值范圍是.

(2)假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求,設(shè)公差為d,則,

,得,

由題意,得均成立,

.

①當(dāng)時,;

②當(dāng)時,,

因為,

所以,與矛盾,

故這樣的等差數(shù)列不存在.

(3)設(shè)數(shù)列的公比為q,則,

因為的每一項均為正整數(shù),且,

所以,且.

因為,

所以在中,“”為最小項,

同理,在中,為最小項.

為“K數(shù)列”,只需,即,

又因為不是“K數(shù)列”,且“”為最小項,所以,即,

由數(shù)列的每一項均為正整數(shù),可得,

所以,,,

①當(dāng),時,,則,

,則,

,

所以為遞增數(shù)列,即,

所以,

因為,

所以對任意的,都有,

即數(shù)列為“K數(shù)列”.

②當(dāng),時,,則.因為,

所以數(shù)列不是“K數(shù)列”.

綜上:當(dāng)時,數(shù)列為“K數(shù)列”,

當(dāng)時,數(shù)列不是“K數(shù)列”.

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有時可用函數(shù)

描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度,其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(),表示對該學(xué)科知識的掌握程度,正實數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān).

1) 證明:當(dāng)時,掌握程度的增加量總是下降;

2) 根據(jù)經(jīng)驗,學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為,,

.當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時,掌握程度是85%,請確定相應(yīng)的學(xué)科.

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