Question

16．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，點（a_n，b_n）在函數(shù)f （x）=2^x的圖象上（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a₁=1，直線y=（${2^{a_2}}$ln2）（x-a₂）+${2^{a_2}}$在x軸上的截距為2-$\frac{1}{ln2}$，求數(shù)列{a_nb_n²}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得，b_n=${2^{a_n}}$＞0，當(dāng)n≥1時，$\frac{bn+1}{bn}$=$\frac{{{2^{{a_{n+1}}}}}}{{{2^{a_n}}}}$=${2^{{a_{n+1}}-}}^{a_n}$，再利用等差數(shù)列的定義即可證明為常數(shù)．
（II）直線y=（${2^{a_2}}$ln2）（x-a₂）+${2^{a_2}}$在x軸上的截距為a₂-$\frac{1}{ln2}$，由題意知，a₂-$\frac{1}{ln2}$=2-$\frac{1}{ln2}$，解得a₂=2，可得a_nb_n²=n•4ⁿ．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：由已知得，b_n=${2^{a_n}}$＞0，
當(dāng)n≥1時，$\frac{bn+1}{bn}$=$\frac{{{2^{{a_{n+1}}}}}}{{{2^{a_n}}}}$=${2^{{a_{n+1}}-}}^{a_n}$，
∵數(shù)列{a_n}的公差為d，∴$\frac{bn+1}{bn}$=2^d．
故數(shù)列{b_n}是首項為2a₁，公比為2^d的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：直線y=（${2^{a_2}}$ln2）（x-a₂）+${2^{a_2}}$在x軸上的截距為a₂-$\frac{1}{ln2}$，
由題意知，a₂-$\frac{1}{ln2}$=2-$\frac{1}{ln2}$，解得a₂=2，
∴d=a₂-a₁=1，a_n=n，b_n=2ⁿ，a_nb_n²=n•4ⁿ．
于是，S_n=1×4+2×4²+3×4³+…+（n-1）×4^n-1+n×4ⁿ，
4S_n=1×4²+2×4³+…+（n-1）×4ⁿ+n×4ⁿ⁺¹，
因此，S_n-4S_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{4n+1-4}{3}$-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{（1-3n）4n+1-4}{3}$，
∴S_n=$\frac{（3n-1）4n+1+4}{9}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．