a，b＞0，a+b=4，則（a+
1
a
）2+（b+
1
b
）2的最小值是
 
．
考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用
專(zhuān)題：不等式
分析：因?yàn)閍+b=4，所以(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2=a2+b2+
1
a2
+
1
b2
+4=（a2+b2）+
1
16
(a+b)2(
1
a2
+
1
b2
)+4=（a2+b2）+
1
16
(
2b
a
+
2a
b
+
b2
a2
+
a2
b2
+2)+4．因?yàn)?span id="zazm02x" class="MathJye">a2+b2≥2ab，
2b
a
+
2a
b
≥4，
b2
a2
+
a2
b2
≥2，并且都是a=b時(shí)取“=”，所以此時(shí)a=b=2，所以便得到(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2的最小值為
25
2
．
解答： 解：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2=a2+b2+
1
a2
+
1
b2
+4=(a2+b2)+
1
16
(a+b)2(
1
a2
+
1
b2
)+4=(a2+b2)+
1
16
(
2b
a
+
2a
b
+
b2
a2
+
a2
b2
+2)+4；
∵a2+b2≥2ab，
2b
a
+
2a
b
≥4，
b2
a2
+
a2
b2
≥2，都是a=b時(shí)取“=”；
∵a+b=4，∴此時(shí)a=b=2；
∴(a2+b2)+
1
16
(
2b
a
+
2a
b
+
b2
a2
+
a2
b2
)+48+
1
16
(4+2+2)+4=
25
2
；
∴(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2的最小值是
25
2
；
故答案為：
25
2
．
點(diǎn)評(píng)：考查基本不等式：a2+b2≥2ab，a+b≥2
ab
，a＞0，b＞0，的運(yùn)用，并注意等號(hào)成立的條件．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

實(shí)數(shù)x，y滿足關(guān)系式y(tǒng)=
x2-1
x+1
，則y的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)集合A={1，2}，則滿足A∪B={1，2，3}的集合B的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、1個(gè)B、2個(gè)C、4個(gè)D、8個(gè)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在下列各數(shù)中，最大的數(shù)是（　�。�
A、11111（2）
B、1000（4）
C、210（6）
D、85（9）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=lg（x-1）+
3-x
的定義域是（　�。�
A、（1，3）
B、[1，3]
C、（1，3]
D、[1，3）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓x2+y2=4與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，以A，B為焦點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線與圓在y軸左方的交點(diǎn)分別為C，D，當(dāng)梯形ABCD 的周長(zhǎng)最大時(shí)，求此雙曲線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，過(guò)對(duì)角線BD1 的一個(gè)平面交AA1 于M，交CC1 于N．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①四邊形BMD1N一定是平行四邊形；
②四邊形BMD1N有可能是正方形；
③四邊形BMD1N 在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形；  
④平面BMD1N 有可能垂直于平面BB1D1D．
其中正確的有
 
（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)．）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A′B′C′D′內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于桌面上，再將容器傾斜．隨著傾斜度的不同，有下面五個(gè)命題：
（1）有水的部分始終呈棱柱形；
（2）沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形；
（3）棱A′D′始終與水面所在平面平行；
（4）水面EFGH所在四邊形的面積為定值；
（5）當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，BE•BF是定值；
其中所有正確命題的序號(hào)是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=ex-ax-1（a∈R），求證：對(duì)于任意的a∈R，總存在x0∈[0，+∞），使得f（x0）＞0．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案