Question

（12分）已知某類型的高射炮在它們控制的區(qū)域內(nèi)擊中具有某種速度敵機(jī)的概率為．

（Ⅰ）假定有5門這種高射炮控制某個(gè)區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后被擊中的概率；

（Ⅱ）要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域內(nèi)有90%以上的概率被擊中，至少需要布置幾門這類高射炮？（參考數(shù)據(jù)，）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）n≥11．即至少需要布置11門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機(jī)．

【解析】本題考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算，注意解不等式 (4/5 )ⁿ＜1 /10 ，用到對(duì)數(shù)，運(yùn)算量較大，要細(xì)心計(jì)算．

（Ⅰ）先求出5門炮都未擊中敵機(jī)的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算出結(jié)論，最后用1減去即可得到結(jié)果．

（Ⅱ）直接結(jié)合第一問的結(jié)論可知1-(4/5 )n＞9/ 10 ，再兩邊取對(duì)數(shù)，即可求出結(jié)論．

解（Ⅰ）設(shè)敵機(jī)被各炮擊中的事件分別記為A1、A2、A3、A4、A5，那么5門炮都未擊中敵機(jī)的事件為，因各炮射擊的結(jié)果是相互獨(dú)立的，所以

因此敵機(jī)被擊中的概率為．

（Ⅱ）設(shè)至少需要置n門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機(jī)，由①可知

 ，即 ，

兩邊取常用對(duì)數(shù)，得， 

∴n≥11．

即至少需要布置11門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機(jī)．