Question

已知某類型的高射炮在它們控制的區(qū)域內(nèi)擊中具有某種速度敵機(jī)的概率為

1

5

．
（Ⅰ）假定有5門(mén)這種高射炮控制某個(gè)區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后被擊中的概率；
（Ⅱ）要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域內(nèi)有90%以上的概率被擊中，至少需要布置幾門(mén)這類高射炮？（參考數(shù)據(jù)lg2=0.301，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出5門(mén)炮都未擊中敵機(jī)的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算出結(jié)論，最后用1減去即可得到結(jié)果．
（Ⅱ）直接結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論可知1-(

4

5

)n＞

9

10

，再兩邊取對(duì)數(shù)，即可求出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)敵機(jī)被各炮擊中的事件分別記為A₁、A₂、A₃、A₄、A₅，
那么5門(mén)炮都未擊中敵機(jī)的事件為

.

C

=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

•

.

A4

•

.

A5

，
因各炮射擊的結(jié)果是相互獨(dú)立的，
所以P(

.

C

)=P(

.

A1

)•P(

.

A2

)•P(

.

A3

)•P(

.

A4

)•P(

.

A5

)=[P(

.

A

)]5=[1-P(A)]5=(1-

1

5

)5=(

4

5

)5
因此敵機(jī)被擊中的概率為P(C)=1-P(

.

C

)=1-(

4

5

)5=

2101

3125

．
（Ⅱ）設(shè)至少需要置n門(mén)高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機(jī)，
由①可知1-(

4

5

)n＞

9

10

，即 (

4

5

)n＜

1

10

，
兩邊取常用對(duì)數(shù)，得n＞

1

1-3lg2

≈

1

1-3×0.3010

≈10.3，
∴n≥11．
即至少需要布置11門(mén)高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機(jī)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算，注意解不等式 (

4

5

)n＜

1

10

，用到對(duì)數(shù)，運(yùn)算量較大，要細(xì)心計(jì)算．