已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)．

(1)當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的極值．


[解析]　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，

f ′(x)＝1－.

(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝x－2lnx，f ′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f ′(1)＝－1，

所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為

y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

(2)由f ′(x)＝1－＝，x>0知：

①當(dāng)a≤0時，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；

②當(dāng)a>0時，由f ′(x)＝0，解得x＝a.

又當(dāng)x∈(0，a)時，f ′(x)<0；

當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f ′(x)>0，

從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，

且極小值為f(a)＝a－alna，無極大值．

綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；

當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無極大值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知曲線y＝x3＋.

(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；

(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程．

[分析]　(1)在點P處的切線以點P為切點．

(2)過點P的切線，點P不一定是切點，需要設(shè)出切點坐標(biāo)．

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若函數(shù)y＝a(x3－x)的遞減區(qū)間為，則a的取值范圍是(　　)

A．a>0                                                         B．－1<a<0

C．a>1                                                         D．0<a<1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)是增函數(shù)，則a的取值范圍是(　　)

A．[－1,0]                                                    B．[－1，＋∞)

C．[0,3]                                                        D．[3，＋∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)＝在區(qū)間(1，＋∞)上一定(　　)

A．有最小值                                                 B．有最大值

C．是減少的                                                 D．是增加的

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　)

A．(－∞，＋∞)                                           B．(－2，＋∞)

C．(0，＋∞)                                                D．(－1，＋∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


求下列定積分：

  

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


對于函數(shù)f(x)＝2sinxcosx，下列選項中正確的是(　　)

A．f(x)在(，)上是增加的

B．f(x)的圖像關(guān)于原點對稱

C．f(x)的最小正周期為2π

D．f(x)的最大值為2

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