Question

13．已知橢圓E的中心在原點，焦點F₁、F₂在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，在橢圓E上有一動點A與F₁、F₂的距離之和為4，
（Ⅰ） 求橢圓E的方程；
（Ⅱ） 過A、F₁作一個平行四邊形，使頂點A、B、C、D都在橢圓E上，如圖所示．判斷四邊形ABCD能否為菱形，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率為$\frac{1}{2}$，在橢圓E上有一動點A與F₁、F₂的距離之和為4，列出方程組，求出a=2，b=$\sqrt{3}$，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）由F₁（-1，0），令直線AB的方程為x=my-1，聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{3{x^2}+4{y^2}-12=0}\\{x=my-1}\end{array}}\right.$，得（3m²+4）y²-6my-9=0，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出四邊形ABCD不能是菱形．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓E的中心在原點，焦點F₁、F₂在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，
在橢圓E上有一動點A與F₁、F₂的距離之和為4，
∴由條件得a=2c，2a=4，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓E的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$-------------（4分）
（Ⅱ）∵F₁（-1，0），如圖，直線AB不能平行于x軸，
∴令直線AB的方程為x=my-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{3{x^2}+4{y^2}-12=0}\\{x=my-1}\end{array}}\right.$，得（3m²+4）y²-6my-9=0，…（6分）
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．…（7分）
若四邊形ABCD是菱形，則OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
于是有x₁•x₂+y₁•y₂=0，…（9分）
又x₁•x₂=（my₁-1）（my₂-1）=m²y₁•y₂-m（y₁+y₂）+1，
所以有（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=0，
得到$\frac{-12{m}^{2}-5}{3{m}^{2}+4}$=0，----------------（11分）
這個方程沒有實數(shù)解，故四邊形ABCD不能是菱形．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形形是否為菱形的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)的合理運用．