【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率,左頂點(diǎn)為,過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn),交軸于點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)已知為的中點(diǎn),是否存在定點(diǎn),對于任意的都有,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(3)若過點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn),求的最小值.

【答案】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）定點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）當(dāng)時, 的最小值為.

【解析】試題分析：(1)由橢圓的離心率,左頂點(diǎn)為易得結(jié)論;(2)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程消去y,由根與系數(shù)的關(guān)系,求出點(diǎn)P坐標(biāo),根據(jù)題意,則結(jié)論易得;(3)設(shè)的方程可設(shè)為,聯(lián)立橢圓方程,求出點(diǎn)M坐標(biāo), =,結(jié)合基本不等式求解即可.

試題解析：

(1) 橢圓的離心率,左頂點(diǎn)為

,

==

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)直線的方程為,

由消元得=

==

當(dāng)時, = =

,

點(diǎn)為的中點(diǎn),

的坐標(biāo)為

則=

直線的方程為,

令,得點(diǎn)坐標(biāo)為

假設(shè)存在定點(diǎn)使得,

則,即=恒成立,

恒成立,

,即,

定點(diǎn)的坐標(biāo)為

(3) ,

的方程可設(shè)為.

由,得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=

由,

得====,

當(dāng)且僅當(dāng)=即時取“=”,

當(dāng)時, 的最小值為.

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