Question

函數(shù)f（x）=

3

sin2x+（sinx+cosx）（sinx-cosx）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和對稱軸；
（2）若f（θ）=

3

，其中0＜θ＜

π

2

，求cos（θ+

π

6

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù),二倍角的余弦,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（2x-

π

6

），從而可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間和對稱軸；
（2）f（θ）=2sin（2θ-

π

6

）=

3

，0＜θ＜

π

2

，故-

π

6

＜2θ-

π

6

＜

5π

6

，所以2θ-

π

6

=

π

3

，即有θ=

π

4

，從而可求cos（θ+

π

6

）的值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2x+（sinx+cosx）（sinx-cosx）
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

），
∴f（x）的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

3

．
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，即有kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

．
∴其單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．
∵2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即有kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

．
∴其單調(diào)遞減區(qū)間為：[有kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]．
（2）f（θ）=

3

，有f（θ）=2sin（2θ-

π

6

）=

3

，
sin（2θ-

π

6

）=

3

2

．∵0＜θ＜

π

2

，故-

π

6

＜2θ-

π

6

＜

5π

6

∴2θ-

π

6

=

π

3

，即有θ=

π

4

cos（θ+

π

6

）=

3

2

cosθ-

1

2

sinθ=

6 - 2

4

．

點(diǎn)評：本題主要考察了兩角和與差的余弦函數(shù)公式、二倍角的余弦、正弦函數(shù)的單調(diào)性等綜合應(yīng)用，屬于中檔題．