Question

9．已知不等式f（x）=3$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-m≤0，對于任意的-$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是$（{\sqrt{3}，+∞}）$．

Answer 1

分析 利用根據(jù)二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，確定m的不等式關系，進而利用x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)確定 $\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的范圍，進而求得m的范圍．

解答 解：f（x）=3$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-m=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$cos$\frac{x}{2}$-m≤0，
∴m≥$\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），
∵-$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{π}{4}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{4}$，
∴-$\sqrt{3}≤$$\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$，
∴m$≥\sqrt{3}$．
故答案為：$（{\sqrt{3}，+∞}）$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的最值問題，不等式恒成立的問題．涉及了知識面較多，考查了知識的綜合性，屬于中檔題．