Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁、C₂的極坐標(biāo)方程分別為$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$，ρ=1．
（1）寫(xiě)出曲線C₁、C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）判斷曲線C₁、C₂的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其和差公式即可得出直角坐標(biāo)方程；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式得出圓心到直線的距離d，即可判斷出位置關(guān)系．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$，展開(kāi)為$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=1，化為直角坐標(biāo)方程：$x+\sqrt{3}y$=2．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=1，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=1．
（2）圓心（0，0）到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=1=R．
∴直線與圓相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、和差公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．