Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$+kx（k＜0）．
（Ⅰ）若f'（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，求k的最大整數(shù)值．
（Ⅱ）若?t₁，t₂∈[e，e²]，使f'（t₁）-k≥f（t₂）成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可求出函數(shù)f（x）的定義域，并求出f′（x）=$k+\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，而配方即可得出$f′（x）=k+\frac{1}{4}-（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^{2}$，這樣即可求出f′（x）的最大值，從而得出$k≤-\frac{1}{4}$，這便可得出k的最大整數(shù)值；
（Ⅱ）根據(jù)題意便可得出f′（x）_max-k≥f（x）_min，從而得到$f（x）_{min}≤\frac{1}{4}$，這樣討論k：$k≤-\frac{1}{4}$和$-\frac{1}{4}＜k＜0$，判斷函數(shù)f（x）在[e，e²]上的單調(diào)性，這樣即可求得k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（x）定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞）；
$f'（x）=k+\frac{lnx-1}{{{{（{lnx}）}^2}}}≤0$在（1，+∞）恒成立，
即當(dāng)x∈（1，+∞）時[f'（x）]_max≤0
由$f'（x）=k+\frac{lnx-1}{{{{（{lnx}）}^2}}}=k+\frac{1}{4}-{（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^2}$；
所以當(dāng)$\frac{1}{lnx}=\frac{1}{2}$，即x=e²時，${[{f'（x）}]_{max}}=k+\frac{1}{4}$，故$k+\frac{1}{4}≤0$即$k≤-\frac{1}{4}$；
所以k的最大整數(shù)值為-1；
（Ⅱ）若?t₁，${t_2}∈[e，{e^2}]$使f'（t₁）-k≥f（t₂）成立，等價于：[f'（x）]_max-k≥[f（x）]_min；
由（Ⅰ）得${[{f'（x）}]_{max}}=k+\frac{1}{4}$
即${[{f（x）}]_{min}}≤\frac{1}{4}$
①當(dāng)$k≤-\frac{1}{4}$時，y=f（x）在[e，e²]是減函數(shù)
由${[{f（x）}]_{min}}=f（{e^2}）=k{e^2}+\frac{e^2}{2}$得$k{e^2}+\frac{e^2}{2}≤\frac{1}{4}$解得$k≤\frac{1}{{4{e^2}}}-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{4}$；
②當(dāng)$-\frac{1}{4}＜k＜0$時，$f'（x）=k+\frac{lnx-1}{{{{（{lnx}）}^2}}}=k+\frac{1}{4}-{（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^2}$，f'（x）在[e，e²]是增函數(shù)，f'（x）的值域?yàn)閇f'（e），f'（e²）]即$[k，k+\frac{1}{4}]$
由f'（x）的單調(diào)性和值域知：存在唯一的${x_0}∈[e，{e^2}]$使f'（x）=0
且滿足當(dāng)x₀∈（e，x₀）時，f'（x）＜0f（x）是減函數(shù)
當(dāng)${x_0}∈（{x_0}，{e^2}）$時，f'（x）＞0f（x）是增函數(shù)．
則${[{f（x）}]_{min}}=f（{x_0}）=k{x_0}+\frac{x_0}{{ln{x_0}}}$，故 $k{x_0}+\frac{x_0}{{ln{x_0}}}≤\frac{1}{4}$解得$k≤\frac{1}{{4{x_0}}}-\frac{1}{{ln{x_0}}}$
所以$k≤\frac{1}{4e}-\frac{1}{{ln{e^2}}}＜\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$這與$-\frac{1}{4}＜k＜0$矛盾．
綜上可得$k≤\frac{1}{{4{e^2}}}-\frac{1}{2}$即實(shí)數(shù)k的取值范圍為$（-∞，\frac{1}{{4{e^2}}}-\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及化歸思想等．