Question

16．已知S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=-15，S₅=-55．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式S_n＞t對(duì)于任意的n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式即可得出．
（2）利用等差數(shù)列的求和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則由a₁=-15，${s_5}=5{a_1}+\frac{5×4}{2}d$，
得-15×5+10d=-55，
解得d=2，
∴a_n=-15+（n-1）•2=2n-17，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-17．
（2）由（1）得${S_n}=\frac{n（-15+2n-17）}{2}={n^2}-16n$，
∵${S_n}={n^2}-16n={（n-8）^2}-64≥-64$，
∴對(duì)于任意的n∈N*，S_n≥-64恒成立，
∴若不等式S_n＞t對(duì)于任意的n∈N*恒成立，則只需t＜-64，
因此所求實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，-64）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．