Question

14．設數列{a_n}的各項都為正數，其前n項和為S_n，已知4S_n=a_n²+2a_n．
（1）求a₁級數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}前n項和為T_n，且b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，若λT_n＜n+（-1）ⁿ•36對n∈N^*恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用4S_n=a_n²+2a_n與4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1作差、整理得a_n+1-a_n=2，進而計算可得結論；
（2）通過裂項、并項相加可知T_n=$\frac{n}{n+1}$，進而問題轉化為求f（n）=n+1+（-1）ⁿ•$\frac{（n+1）•36}{n}$的最小值，通過對n分奇數、偶數兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n，
∴4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1，
兩式相減得：4a_n+1=a_n+1²+2a_n+1-（a_n²+2a_n），
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2（a_n+1+a_n），
又∵數列{a_n}的各項都為正數，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵4a₁=${{a}_{1}}^{2}$+2a₁，
∴a₁=2或a₁=0（舍），
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n；
（2）b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵λT_n＜n+（-1）ⁿ•36對n∈N^*恒成立，
∴λ＜$\frac{n+（-1）^{n}•36}{{T}_{n}}$=n+1+（-1）ⁿ•$\frac{（n+1）•36}{n}$對n∈N^*恒成立，
記f（n）=n+1+（-1）ⁿ•$\frac{（n+1）•36}{n}$，
當n為偶數時，f（n）=n+1+$\frac{（n+1）•36}{n}$
=37+n+$\frac{36}{n}$
≥37+2$\sqrt{n•\frac{36}{n}}$=37+2•6=49，
當且僅當n=$\frac{36}{n}$即n=6時取等號；
當n為奇數時，f（n）=n+1-$\frac{（n+1）•36}{n}$
=n-$\frac{36}{n}$-35
≥1-$\frac{36}{1}$-35=-70；
綜上所述，實數λ的取值范圍為：（-∞，-70）．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．