Question

4．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+$\frac{m}{x+1}$．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線4y-x+1=0垂直時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若x≥0時(shí)，f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得到所求m的值；
（2）不等式ln（x+1）+$\frac{m}{x+1}$≥1在x≥0時(shí)恒成立，即m≥x+1-（x+1）ln（x+1）在x≥0時(shí)恒成立．令g（x）=x+1-（x+1）ln（x+1）（x≥0），求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{m}{（x+1）^{2}}$，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率k=f′（0）=1-m，
∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線4y-x+1=0垂直，
∴1-m=-4，∴m=5；                                              
（2）依題意不等式ln（x+1）+$\frac{m}{x+1}$≥1在x≥0時(shí)恒成立，
即m≥x+1-（x+1）ln（x+1）在x≥0時(shí)恒成立．
令g（x）=x+1-（x+1）ln（x+1）（x≥0），
則g′（x）=1-[ln（x+1）+1]=-ln（x+1），
∴x≥0時(shí)，g′（x）≤0，
∴函數(shù)g（x）在[0，+∞）時(shí)為減函數(shù)，
∴g（x）≤g（0）=1，∴m≥1
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式恒成立問(wèn)題，注意運(yùn)用分離參數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．