Question

13．在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，當(dāng)D為PB的中點(diǎn)
（1）求證：平面PBC⊥平面PAC；
（2）求AD與平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）欲證BC⊥平面PAC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面PAC內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PA⊥BC，而AC⊥BC，滿足定理所需條件；
（2）根據(jù)DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E，則∠DAE是AD與平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD與平面PAC所成角即可；

解答 證明：（1）∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC．
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC
（2）取PC的中點(diǎn)E，
連結(jié)AE，DE，
∵D為PB的中點(diǎn)，
DE∥BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC．
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E，
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．
又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{1}{\sqrt{2}}$AB．
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=$\frac{DE}{AD}=\frac{BC}{2AD}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即AD與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面所成角、線面垂直的判定定理，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，知識(shí)性技巧性都很強(qiáng)，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．