Question

已知函數(shù)， 
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的最小值；
（3）若，使成立，求實數(shù)取值范圍.

Answer 1

（1）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，，遞增區(qū)間是。
（2）的最小值為。
（3）。

試題分析：函數(shù)的定義域為，且   2分
（1）函數(shù)
當且時， ；當時，
所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，，遞增區(qū)間是  .5分
（2）因為在上為減函數(shù)，故在上恒成立
所以當時，
又
故當，即時，
所以于是，故的最小值為             .8分
（3）命題“若，使成立”等價于
“當時，有”
由（2），當時，，所以
問題等價于： “當時，有”            9分
（i）當時，由（2）在上為減函數(shù)
則，故
（ii）當時，由于在上為增函數(shù)
故的值域為，即
由的單調性值域知
唯一，使，且滿足：
當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；所以， 
所以，，與矛盾，不合題意
綜上，                                            12分
點評：難題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值，是導數(shù)應用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導函數(shù)值非負，函數(shù)為增函數(shù)；導函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”。確定函數(shù)的極值，遵循“求導數(shù)，求駐點，研究單調性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決。本題的難點在于利用轉化思想的靈活應用。