Question

3．已知冪函數(shù)f（x）=x^m-3（m∈N₊）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，求滿足（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}$的a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)求出m的值，再化簡不等式（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}$，即可求出a的取值范圍．

解答 解：∵冪函數(shù)f（x）=x^m-3（m∈N₊）的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴m-3是偶數(shù)；
又f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴m-3＜0，即m＜3；
又m∈N₊，
∴m=1；
∴不等式（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}$化為${（a+1）}^{-\frac{1}{3}}$＜${（3-2a）}^{-\frac{1}{3}}$，
即$\frac{1}{a+1}$＜$\frac{1}{3-2a}$，
移項(xiàng)得$\frac{1}{a+1}$-$\frac{1}{3-2a}$＜0，
通分化簡得$\frac{3a-2}{（a+1）（2a-3）}$＜0，
解得a＜-1，或$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{3}{2}$，
∴a的取值范圍是（-∞，-1）∪（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了分式不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．