精英家教網(wǎng)如圖,在幾何體P-ABCD中,四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,AB=PA=2.
(1)當AD=2時,求證:平面PBD⊥平面PAC;
(2)若PC與AD所成角為45°,求幾何體P-ABCD的體積.
分析:(1)要證平面PBD⊥平面PAC,只需證明平面ABCD內(nèi)的直線BD,垂直平面PBD必定兩條相交直線PA、AC即可;
(2)PC與AD所成角為45°,證明BC⊥平面PAB,求出底面ABCD的面積和高,求幾何體P-ABCD的體積.
解答:解:(1)當AD=2時,四邊形ABCD是正方形,則BD⊥AC,(2分)
∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD,(4分)
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC;(6分)

(2)若PC與AD成45°角,AD∥BC,則∠PCB=45°.(8分)
∵BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB,PB?平面PAB
∴BC⊥PB(10分)
∴∠CPB=90°-45°=45°,∴BC=PB=2
2

∴幾何體P-ABCD的體積為
1
3
×(2×2
2
)×2=
8
2
3
.(12分)
點評:本題考查平面與平面垂直的判定,棱錐的體積,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在棱長為4的正方體ABCD-A′B′C′D′中,E、F分別是AD、A′D′的中點,長為2的線段MN的一個端點M在線段EF上運動,另一個端點N在底面A′B′C′D′上運動,則線段MN的中點P的軌跡(曲面)與二面角A-A′D′-B′所圍成的幾何體的體積為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)已知梯形ABCD是直角梯形,按照斜二測畫法畫出它的直觀圖A′B′C′D′如圖所示,其中A′D′=2,B′C′=4,A′B′=1,求直角梯形以BC為旋轉軸旋轉一周形成的幾何體的表面積.
(2)定線段AB所在的直線與定平面α相交,P為直線AB外的一點,且P不在α內(nèi),若直線AP、BP與α分別交于C、D點,求證:不論P在什么位置,直線CD必過一定點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在邊長為12的正方形A1 AAA1′中,點B、C在線段AA′上,且AB = 3,BC = 4,作BB1AA1,分別交A1A1′、AA1′于點B1、P;作CC1AA1,分別交A1A1′、AA1′于點C1、Q;將該正方形沿BB1CC1折疊,使得AA1′ 與AA1重合,構成如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1,在三棱柱ABCA1B1C1中, (Ⅰ)求證:AB⊥平面BCC1B1;  (Ⅱ)求面PQA與面ABC所成的銳二面角的大。á螅┣竺APQ將三棱柱ABCA1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比.

 


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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年湖北武漢市高三2月調(diào)研測試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(點EB1不重合),且EHA1D1,EH的平面與棱BB1,CC1相交,交點分別為F,GAB2AA12a在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機選取一點,記該點取自幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為P,當點E,F分別在棱A1B1,BB1上運動且滿足EFa時,P的最小值( )

A B C D

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆四川省高二上學期期中考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

(文)如圖,在棱長為4的正方體ABCDABCD′中,E、F分別是ADAD′的中點,長為2的線段MN的一個端點M在線段EF上運動,另一個端點N在底面ABCD′?上運動,則線段MN的中點P的軌跡(曲面)與二面角AAD′-B′所圍成的幾何體的體積為(  )

A.      B.        C.         D.

 

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