在各棱長(zhǎng)都等于1的正四面體O-ABC中，若點(diǎn)P滿足
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
(x+y+z=1)，則|
OP
|的最小值為
 
．
分析：根據(jù)題中的向量等式及x+y+z=1，證出
AP
=y
AB
+z
AC
，從而可得點(diǎn)P是平面ABC內(nèi)的一點(diǎn)．再由正四面體O-ABC是各棱長(zhǎng)都等于1，得到|
OP
|的最小值等于正四面體在△ABC上的高，從而可得|
OP
|的最小值．
解答：解：根據(jù)題意，可得
∵點(diǎn)P滿足
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
(x+y+z=1)，
∴
AP
=
OP
-
OA
=-y(
OA
-
OB
)-z(
OA
-
OC
)，
可得
AP
=-y
BA
-z
CA
=y
AB
+z
AC
，
∴點(diǎn)P是平面ABC內(nèi)的一點(diǎn)．
又∵正四面體O-ABC是各棱長(zhǎng)都等于1，
∴當(dāng)點(diǎn)P與O在ABC上的射影重合時(shí)，
|OP|
等于正四面體的高，
此時(shí)|
OP
|=
6
3
且
|OP|
達(dá)到最小值．
故答案為：
6
3
點(diǎn)評(píng)：本題給出正四面體內(nèi)的點(diǎn)P滿足的向量等式，求|
OP
|的最小值．著重考查了空間向量的線性運(yùn)算、正四面體的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長(zhǎng)都等于a，D、E分別是AC1、BB1的中點(diǎn)，
（1）求證：DE是異面直線AC1與BB1的公垂線段，并求其長(zhǎng)度；
（2）求二面角E-AC1-C的大�。�
（3）求點(diǎn)C1到平面AEC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都等于2，D在AC1上，F(xiàn)為BB1中點(diǎn)，且FD⊥AC1．
（1）試求
ADDC1
的值；
（2）求二面角F-AC1-C的大�。�
（3）求點(diǎn)C1到平面AFC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都等于2，D在AC1上，F(xiàn)為BB1中點(diǎn)，且FD⊥AC1．
（1）試求
ADDC1
的值；
（2）求點(diǎn)C1到平面AFC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省深圳市高三上學(xué)期第三次考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都等于2，D在AC1上，F(xiàn)為BB1中點(diǎn)，且FD⊥AC1.

 

 

   （1）試求的值；

   （2）求二面角F－AC1－C的大��；

   （3）求點(diǎn)C1到平面AFC的距離.

 

 

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