Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項和，并且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，…），a₁=1
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在最大項與最小項，若存在，求出最大項與最小項；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推公式可把已知條件進行轉(zhuǎn)化為a_n+1=4a_n-2a_n-1，從而可得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
（2）由（1）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，構(gòu)造數(shù)列{

an

2n

}，利用數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）數(shù)列{a_n}的通項公式的特點，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵S_n+1=S_n+a_n+1=4a_n-1+2+a_n+1，
∴4a_n+2=4a_n-1+2+a_n+1．
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
即b_n=2b_n-1，且b₁=a₂-2a₁=3，
∴{b_n}是公比q=2的等比數(shù)列．
（2）∵{b_n}是公比q=2的等比數(shù)列．
∴b_n=3•2^n-1，
即b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

2an

2n+1

=

3?2n-1

2n+1

，
即

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
即{

an

2n

}是公差d=

3

4

，首項

a1

2

=

1

2

的等差數(shù)列，
∴

an

2n

=

1

2

+

3

4

(n-1)，
即an=(3n-1)?2n-2，n≥1．
（3）∵an=(3n-1)?2n-2，n≥1．
∴a1=2?2-1=1，a2=5?20=5，
當(dāng)n＞2時，數(shù)列an=(3n-1)?2n-2單調(diào)遞增，
∴數(shù)列{a_n}存在最小項a₁=1，不存在最大項．

點評：本題主要考查了利用遞推公式轉(zhuǎn)化“和”與“項”進而求數(shù)列的通項公式，采用構(gòu)造證明等差（等比數(shù)列）也是數(shù)列中的重點，要注意掌握運用．