已知以點C (t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A,與y軸交于點O、B,其中O為原點.
(1)求證:△AOB的面積為定值;
(2)設直線2x+y-4=0與圓C交于點M、N,若OM=ON,求圓C的方程.

(1)見解析;(2)(x-2)2+(y-1)2=5.

解析試題分析:(1)先求出圓的方程,然后求出與坐標軸的交點坐標,然后求SAOBOA·OB=|2t|·=4為定值;(2)由OM=ON,知O在MN的中垂線上,設MN的中點為H,則CH⊥MN,由C、H、O三點共線求出t=2或t=-2,從而得出圓方程.此題注意圓方程的取舍.
試題解析: (1)證明 由題設知,圓C的方程為(x-t)22=t2,
化簡得x2-2tx+y2y=0,當y=0時,x=0或2t,則A(2t,0);
當x=0時,y=0或,則B,∴SAOBOA·OB=|2t|·=4為定值.
(2)解 ∵OM=ON,則原點O在MN的中垂線上,設MN的中點為H,則CH⊥MN,
∴C、H、O三點共線,則直線OC的斜率k=,∴t=2或t=-2.
∴圓心為C(2,1)或C(-2,-1).
∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,
由于當圓方程為(x+2)2+(y+1)2=5時,直線2x+y-4=0到圓心的距離d>r,此時不滿足直線與圓相交,故舍去.
∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
考點:1.圓的標準方程;2.直線與圓的位置關系.

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