Question

已知⊙M：（x+1）²+y²=1，⊙N：（x-1）²+y²=9，動(dòng)圓P與⊙M外切并且與⊙N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）l是與⊙P、⊙M都相切的一條直線，當(dāng)⊙P的半徑最長時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓的切線方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，由已知?jiǎng)訄AP與圓M外切并與圓N內(nèi)切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓，求出即可；
（2）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R-2≤4-2=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0）R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為（x-2）²+y²=4．分①l的傾斜角為90°．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，確定Q（-4，0），設(shè)l：y=k（x+4），由l與M相切，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由圓M：（x+1）²+y²=1，可知圓心M（-1，0）；圓N：（x-1）²+y²=9，圓心N（1，0），半徑3．
設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，
∵動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，
而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（去掉點(diǎn)（-2，0））
（2）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），
由于|PM|-|PN|=2R-2≤3-1=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0），R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為（x-2）²+y²=4．
①l的傾斜角為90°，直線l的方程為x=0．
②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，
設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則

|QP|

|QM|

=

R

r1

，可得Q（-4，0），所以可設(shè)l：y=k（x+4），
由l與M相切可得：

|3k|

1+k2

=1，解得k=±

2

4

．
∴直線l的方程為y=±

2

4

（x+4），
綜上可知，直線l的方程為y=±

2

4

（x+4）或x=0．

點(diǎn)評：本題綜合考查了兩圓的相切關(guān)系、直線與圓相切等基礎(chǔ)知識，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力及其分類討論的思想方法．