Question

2．（1）寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的前五項(xiàng)，其中a₁=-$\frac{1}{4}$，a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$．
（2）在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=-1，a₄=64，求q，S₄．
（3）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+2n+3，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$令n=2、3、4、5，直接代入計(jì)算即可；
（2）利用q³=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$計(jì)算可知公比q=-4，進(jìn)而可知S₄的值；
（3）通過(guò)S_n=n²+2n+3與S_n+1=（n+1）²+2（n+1）+3作差，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁=-$\frac{1}{4}$，a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∴a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{-\frac{1}{4}}$=5，
a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$，
a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=1-$\frac{1}{\frac{4}{5}}$=-$\frac{1}{4}$，
a₅=1-$\frac{1}{{a}_{4}}$=1-$\frac{1}{-\frac{1}{4}}$=5；
（2）∵q³=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=$\frac{64}{-1}$=-64，
∴q=-4，
∴S₄=$\frac{-1[1-（-4）^{4}]}{1-（-4）}$=51；
（3）∵S_n=n²+2n+3，
∴S_n+1=（n+1）²+2（n+1）+3，
兩式相減得：a_n+1=（n+1）²+2（n+1）+3-（n²+2n+3）=2（n+1）+1，
又∵a₁=S₁=1+2+3=6不滿足上式，
∴這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，}&{n=1}\\{2n+1，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．