Question

5．已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外一點O，若$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$，證明：點M不在平面ABC內(nèi)．

Answer 1

分析 可假設(shè)點M在平面ABC內(nèi)，從而可以根據(jù)平面向量基本定理得到，存在λ，μ，使得$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，然后根據(jù)向量減法的幾何意義便可得到$\overrightarrow{OM}=（1+λ+μ）\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}-μ\overrightarrow{OC}$，1+λ+μ-λ-μ=1，而2-1-1≠1，這樣由空間向量基本定理便知假設(shè)不成立，從而便得出點M不在平面ABC內(nèi)．

解答 證明：假設(shè)點M在平面ABC內(nèi)，∵A，B，C三點不共線，則：根據(jù)平面向量基本定理知，存在實數(shù)λ，μ使：
$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=λ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+μ（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OM}=（1+λ+μ）\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}-μ\overrightarrow{OC}$；
∴1+λ+μ-λ-μ=1，而2-1-1=0≠1；
∴假設(shè)不成立，即點M不在平面ABC內(nèi)．

點評 考查平面向量基本定理和空間向量基本定理，以及反證法證明命題的方法，向量減法的幾何意義，向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算．