12.如圖,直二面角D-AB-E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE=EB,F(xiàn)為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE,求二面角B-AC-E的余弦值.

分析 求二面角B-AC-E的正弦值,需要先作角,連接BD交AC交于G,連接FG,可證得∠BGF是二面B-AC-E的平面角,在△BFG中求解即可;

解答 解:連接BD交AC交于G,連接FG
∵正方形ABCD邊長為2.∴BG⊥AC,BG=$\sqrt{2}$
∵BF⊥平面ACE.由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC.
∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角,
∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC,
又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形AEB中,BE=$\sqrt{2}$
又∵Rt△BCE中,EC=$\sqrt{6}$
∴BF=$\frac{BC×BE}{EC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴Rt△BFG中sin∠BGF=$\frac{BF}{BG}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴二面角B-AC-E的正弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
則余弦值為$\sqrt{1-(\frac{\sqrt{6}}{3})^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

點(diǎn)評 本題考查了用二面角的定義求二面角,根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角,把空間角轉(zhuǎn)化為平面角是解決本題的關(guān)鍵.要注意體會問題的轉(zhuǎn)化方向,及解決方法.

練習(xí)冊系列答案
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18.已知函數(shù)f(x)=x+$\frac{a}{x}$-4,g(x)=kx+3.
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(2)當(dāng)a∈[3,4]時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,m]上的最大值為f(m),試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
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15.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+3n,則a3+a7=( 。
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17.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為x2+y2=2,曲線C2的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,則曲線C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為($\sqrt{2}$,$\frac{π}{4}$).

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(1)試在棱AB上找一點(diǎn)F,使DE∥平面A1CF;
(2)在(1)的條件下,求二面角A-A1C-F的余弦值.

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1.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cos?\\ y=2sin?\end{array}$(?為參數(shù),且0≤?<2π),曲線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2-3k}{2sinθ-2kcosθ}$(k是常數(shù),且k∈R).
(Ⅰ)求曲線C的普通方程和曲線l直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若曲線l被曲線C截的弦是以($\frac{3}{2}$,1)為中點(diǎn),求k的值.

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