分析 求二面角B-AC-E的正弦值,需要先作角,連接BD交AC交于G,連接FG,可證得∠BGF是二面B-AC-E的平面角,在△BFG中求解即可;
解答 解:連接BD交AC交于G,連接FG
∵正方形ABCD邊長為2.∴BG⊥AC,BG=$\sqrt{2}$
∵BF⊥平面ACE.由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC.
∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角,
∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC,
又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形AEB中,BE=$\sqrt{2}$
又∵Rt△BCE中,EC=$\sqrt{6}$
∴BF=$\frac{BC×BE}{EC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴Rt△BFG中sin∠BGF=$\frac{BF}{BG}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴二面角B-AC-E的正弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
則余弦值為$\sqrt{1-(\frac{\sqrt{6}}{3})^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
點(diǎn)評 本題考查了用二面角的定義求二面角,根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角,把空間角轉(zhuǎn)化為平面角是解決本題的關(guān)鍵.要注意體會問題的轉(zhuǎn)化方向,及解決方法.
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A. | $\frac{13}{4}$ | B. | $\frac{7}{2}$ | C. | 4 | D. | $\frac{15}{4}$ |
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