Question

2．已知A，B為拋物線C：y²=4x上的不同兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$，則||FA|-|FB||=（　�。�

• A． $\frac{13}{4}$
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 4
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$，可得|$\overrightarrow{FA}$|=4|$\overrightarrow{FB}$|，設(shè)|$\overrightarrow{FB}$|=t，則|$\overrightarrow{FA}$|=4t，點(diǎn)A，B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為A₁，B₁，過A作AM⊥BB₁，垂足為M，則|BM|=|AA₁|-|BB₁|=3t，又|AB|=|AF|+|BF|，可得|AM|=$\sqrt{|AB{|}^{2}-|BM{|}^{2}}$，可得tan∠ABM=$\frac{4}{5}$．不妨設(shè)直線AB的斜率為$\frac{4}{3}$，可得直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$，∴|$\overrightarrow{FA}$|=4|$\overrightarrow{FB}$|，設(shè)|$\overrightarrow{FB}$|=t，則|$\overrightarrow{FA}$|=4t，
點(diǎn)A，B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為A₁，B₁
過A作AM⊥BB₁，垂足為M，則|BM|=|AA₁|-|BB₁|=|AF|-|BF|=3t，
又|AB|=|AF|+|BF|=5t，∴|AM|=$\sqrt{|AB{|}^{2}-|BM{|}^{2}}$=4t，
∴tan∠ABM=$\frac{4}{5}$．
不妨設(shè)直線AB的斜率為$\frac{4}{3}$，可得直線AB的方程為：y-0=$\frac{4}{3}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{4x-3y-4=0}\end{array}\right.$，
化為：4x²-17x+4=0，解得x_A=4，x_B=$\frac{1}{4}$，
∴||FA|-|FB||=$\frac{15}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、勾股定理、直線的點(diǎn)斜式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．