Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，△ABD是邊長為2$\sqrt{3}$的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E為棱PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求點(diǎn)E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點(diǎn)F，連接EF、DF，利用三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)可得：EF∥PB，DF⊥AB．進(jìn)而得到DF∥BC．于是平面DEF∥平面PBC，即可證明DE∥平面PBC．
（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可得BC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PBC．在△PAB中，過E作EG⊥PB交BP延長線于G點(diǎn)，則EG的長為點(diǎn)E到平面PBC的距離，設(shè)點(diǎn)A到PB的距離為h，利用S_△PAB=$\frac{1}{2}$PF•AB=$\frac{1}{2}$h•PB，即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)F，連接EF、DF，
∴EF∥PB，DF⊥AB．
∵∠CBD=∠FDB=30°，
∴∠ABC=90°，即CB⊥AB，
∴DF∥BC，
∵EF、DF?平面DEF，PB、BC?平面PBC，
∴平面DEF∥平面PBC，
∵DE?平面DEF，
∴DE∥平面PBC．
（Ⅱ）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC．
∴在△PAB中，過E作EG⊥PB交BP的延長線于G點(diǎn)，
則EG的長為點(diǎn)E到平面PBC的距離，
設(shè)點(diǎn)A到PB的距離為h，
則$\frac{1}{2}×PB×h=\frac{1}{2}×AB×PF⇒\frac{1}{2}×2×h=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$，即$h=\sqrt{3}$，
∴$EG=\frac{1}{2}h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即點(diǎn)E到平面PBC的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面面面判平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、平行線的判定方法、，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．