Question

已知函數(shù)f（x）是正比例函數(shù)，函數(shù)g（x）是反比例函數(shù)且f（1）=1，g（1）=2，
（1）求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式
（2）求證：函數(shù)p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上單調(diào)遞減
（3）求p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)正比例函數(shù)f（x）=kx，反比例函數(shù)g（x）=

k′

x

，則由f（1）=1，g（1）=2，求得 k和k′的值，可得f（x）和g（x）的解析式．
（2）根據(jù) p′（x）=1-

2

x2

 在（0，

2

]上小于或等于零恒成立，證明函數(shù)p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上單調(diào)遞減．
（3）由于p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上單調(diào)遞減，可得當(dāng)x=

2

時(shí)，函數(shù)p（x）取得最小值，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）設(shè)正比例函數(shù)f（x）=kx，反比例函數(shù)g（x）=

k′

x

，則由f（1）=1，g（1）=2，
可得

k

1

=1，

k′

1

=2，求得 k=1，k′=2，∴f（x）=x，g（x）=

2

x

．
（2）證明：∵函數(shù)p（x）=f（x）+g（x）=x+

2

x

，∴p′（x）=1-

2

x2

 在（0，

2

]上小于或等于零恒成立，
∴函數(shù)p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上單調(diào)遞減．
（3）由于p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=

2

時(shí)，函數(shù)p（x）取得最小值為

2

+

2

2

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．