Question

已知奇函數(shù)f（x）=ax+

b

x

+c的圖象經(jīng)過點A（1，1），B（2，-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（3）若|t-1|≤f（x）+2對x∈[-2，-1]∪[1，2]恒成立，求實數(shù)t的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)f（x）=ax+

b

x

+c的圖象經(jīng)過點A（1，1），B（2，-1）構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程，解方程可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，進而根據(jù)導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可證得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（3）若|t-1|≤f（x）+2對x∈[-2，-1]∪[1，2]恒成立，則|t-1|≤1，解絕對值不等式可得實數(shù)t的范圍．

解答： 解：（1）∵奇函數(shù)f（x）=ax+

b

x

+c的圖象經(jīng)過點A（1，1），B（2，-1）．
∴函數(shù)f（x）=ax+

b

x

+c的圖象經(jīng)過點（-1，-1），
即

a+b+c=1 -a-b+c=-1 2a+ 1 2 b+c=-1

，
解得：

a=-1 b=2 c=0

故f（x）=-x+

2

x

證明：（2）∵f′（x）=-1-

2

x2

，
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
解：（3）當x∈[-2，-1]∪[1，2]時，f（x）∈[-1，1]，
則f（x）+2∈[1，3]，
若|t-1|≤f（x）+2對x∈[-2，-1]∪[1，2]恒成立，
則|t-1|≤1，
則t∈[0，2]

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)單調(diào)性的證明，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．