Question

6．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（-$\sqrt{3}$，0），圓心落在x軸上（圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合），且與直線l₁：x+$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0 相切．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求直線Y=X被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）l₂是與l₁垂直并且在Y軸上的截距為b的直線，若l₂與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓C：（x-a）²+y²=r²（a≠0），利用圓C與直線l：x+$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0相切，結(jié)合圓C經(jīng)過點(diǎn)A（-$\sqrt{3}$，0），求出a，r，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求出圓心C（-4$\sqrt{3}$，0）到直線y=x的距離，即可求直線Y=X被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）利用直線l₂與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得圓心到l₂的距離小于半徑3$\sqrt{3}$，即可求b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓C：（x-a）²+y²=r²（a≠0）
∵圓C與直線l：x+$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0 相切
∴$\frac{|a-2\sqrt{3}|}{2}$=r （1）
∵圓C經(jīng)過點(diǎn)A（-$\sqrt{3}$，0）
∴（-$\sqrt{3}$-a）²=r²（2）
（1）（2）得：a²+4$\sqrt{3}$a=0
∵a≠0∴a=-4$\sqrt{3}$，r=3$\sqrt{3}$
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（x+4$\sqrt{3}$）²+y²=27；
（Ⅱ）圓心C（-4$\sqrt{3}$，0）到直線y=x的距離d=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{6}$．
根據(jù)半弦半徑，弦心距之間勾股定理得半弦m=$\sqrt{3}$，
∴直線Y=X被圓C截得的弦長為2$\sqrt{3}$；
（Ⅲ）易知直線l₂ 的方程為y=$\sqrt{3}$x+b．                                
∵直線l₂與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴圓心到l₂的距離小于半徑3$\sqrt{3}$．
∴$\frac{|\sqrt{3}×（-4\sqrt{3}）+b|}{\sqrt{1+3}}$$＜3\sqrt{3}$．                   
解得b的取值范圍為12-6$\sqrt{3}$＜b＜12+6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．