Question

4．已知函數f（x）=a^x+$\frac{x-2}{x+1}$，其中 a＞1：
（1）證明：函數f（x）在（-1，∞）上為增函數；
（2）證明：不存在負實數x₀使得f（x₀）=0．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=a^x，（a＞1），則g（x）在R遞增，令h（x）=$\frac{x-2}{x+1}$，求出h（x）的導數，得到函數的單調性，從而判斷出f（x）的單調性即可；
（2）通過討論x∈（-∞，-1）時，f（x）＞0，x∈（-1，0）時，f（x）＜0，從而證明結論即可．

解答 證明：函數f（x）的定義域是（-∞，-1）∪（-1，+∞），
（1）函數f（x）=a^x+$\frac{x-2}{x+1}$，其中 a＞1，
令g（x）=a^x，（a＞1），則g（x）在R遞增，
令h（x）=$\frac{x-2}{x+1}$，則h′（x）=$\frac{3}{{（x+1）}^{2}}$＞0，
∴函數f（x）在（-1，∞）上為增函數；
（2）x∈（-∞，-1）時，0＜a^x＜1，
$\frac{x-2}{x+1}$=1-$\frac{3}{x+1}$，
x→-∞時：x+1→-∞，-$\frac{3}{x+1}$→0，
x→-1時，-$\frac{3}{x+1}$→+∞，
故x∈（-∞，-1）時：f（x）∈（1，+∞），
x∈（-1，0）時，由（1）得：f（x）在（-1，0）遞增，
而f（0）=a⁰+$\frac{0-2}{0+1}$=-2，∴f（x）＜0在（-1，0）恒成立，
綜上：不存在負實數x₀使得f（x₀）=0．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，是一道中檔題．