Question

13．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x）+f（1），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，則
（1）f（1）=0；
（2）若方程f（x）=m在[3，7]上有4個(gè)實(shí)根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=20．

Answer 1

分析 （1）在所給的等式中，令x=-1，可得f（1）的值．
（2）由條件畫(huà)出f（x）的單調(diào)性的示意圖，根據(jù)這4個(gè)實(shí)根x₁，x₂，x₃，x₄，關(guān)于直線x=5對(duì)稱，求得x₁+x₂+x₃+x₄的值．

解答 解：（1）令x=-1，可得f（1）=f（-1）+f（1），
f（1）=0．
（2）由（1）可得f（x+2）=f（x），故函數(shù)的最小
正周期為2．
由于當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，
故f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞增．
畫(huà)出f（x）的單調(diào)性的示意圖：
觀察發(fā)現(xiàn)，這4個(gè)實(shí)根x₁，x₂，x₃，x₄，關(guān)于直線x=5對(duì)稱，
則x₁+x₂+x₃+x₄=20，
故答案為：0；20．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、以及圖象的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．