Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-$\frac{1}{2}$lnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$ax在區(qū)間（1，+∞）上沒有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)g（x）的表達式，單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由g（x）≥0得$\frac{1}{2}$a≥$\frac{lnx}{2x}$-x，令y=$\frac{lnx}{2x}$-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（2x-1）（2x+1）}{2x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增；
（2）g（x）=x²-$\frac{1}{2}$lnx+$\frac{1}{2}$ax，
由g′（x）=$\frac{{4x}^{2}+ax-1}{2x}$＞0，解得：x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{8}$，
由g′（x）=$\frac{{4x}^{2}+ax-1}{2x}$＜0，解得：x＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{8}$，
∴g（x）在（0，$\frac{{4x}^{2}+ax-1}{2x}$）遞減，在（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{8}$，+∞）遞增，
又g（x）在（1，+∞）上沒有零點，
∴g（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
由g（x）≥0得$\frac{1}{2}$a≥$\frac{lnx}{2x}$-x，
令y=$\frac{lnx}{2x}$-x，則y′=$\frac{2-2lnx-{4x}^{2}}{{4x}^{2}}$，
當(dāng)x≥1時，y′＜0，
∴y=$\frac{lnx}{2x}$-x在[1，+∞）遞減，
∴x=1時，y_max=-1，
∴$\frac{1}{2}$a≥-1，即a∈[-2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．