Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0），F(xiàn)（x）=

f(x) ， x≥0 -f(x) ， x＜0

若f（-1）=0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x+t，若函數(shù)F（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0，b=a+1，可得f（x）=ax²+（a+1）x+1（a＞0），因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立，所以

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

，據(jù)此求出a、b的值，進(jìn)而求出求F（x）的表達(dá)式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)F（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，分兩種情況討論求出實(shí)數(shù)t的取值范圍即可．

解答： 解：由f（-1）=0，可得a-b+1=0，b=a+1，
所以f（x）=ax²+（a+1）x+1（a＞0），
因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立，
所以

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

，
解得a=1，從而b=2，
所以f（x）=x²+2x+1（a＞0），
F（x）=

x2+2x+1，x≥0 -x2-2x-1，x＜0

；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，由函數(shù)F（x）與g（x）的圖象，可得t＞1，
當(dāng)x＜0時(shí)，要使函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，
則方程-x²-2x-1=x+t，即x²+3x+t+1=0有兩個(gè)不同負(fù)根，
∴

△=9-4(t+1)＞0 x1+x2=-3＜0 x1x2=t+1＞0

，
解得，-1＜t＜

5

4

，
綜上所述，1≤t＜

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，考查了函數(shù)的極值與最值，考查了學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．