在△ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c．已知向量
m
=（2cos
A
2
，sin
A
2
），
n
=（cos
A
2
，-2sin
A
2
），
m
•
n
=-1．
（1）求cosA的值；
（2）若a=2
3
，求△ABC周長的范圍．
考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：解三角形
分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量的數(shù)量積為-1，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，整理即可求出cosA的值；
（2）由a的值表示出三角形ABC周長L，且利用三角形三邊關(guān)系得到b+c＞a，由余弦定理列出關(guān)系式，將a，cosA的值代入并利用基本不等式求出b+c的范圍，綜上，確定出b+c的范圍，進(jìn)而確定出a+b+c的范圍，即為三角形ABC周長的范圍．
解答： 解：（1）∵向量
m
=（2cos
A
2
，sin
A
2
），
n
=（cos
A
2
，-2sin
A
2
），且
m
•
n
=-1，
∴2cos2
A
2
-2sin2
A
2
=2cosA=-1，
則cosA=-
1
2
；
（2）∵a=2
3
，
∴△ABC周長L=a+b+c=2
3
+b+c，b+c＞a=2
3
，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA=（b+c）2-bc，
即12=（b+c）2-bc，
∵b+c≥2
bc
，即bc≤
(b+c)2
4
，
∴12=（b+c）2-bc≥
3(b+c)2
4
，即（b+c）2≤16，
解得：0＜b+c≤4，
∴2
3
＜b+c≤4，即4
3
＜a+b+c≤4+2
3
，
則△ABC周長為（4
3
，4+2
3
]．
點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

α、β、γ表示不同平面，m、n表示不同直線，則下列說法中可以判定α∥β的是（　�。�
①α⊥γ，β⊥γ；
②由α內(nèi)不共線的三點(diǎn)作平面β的垂線，各點(diǎn)與垂足間線段的長度都相等；
③m∥n，m⊥α，n⊥β；
④m、n是α內(nèi)兩條直線，且m∥β，n∥β．
A、①②B、②C、③④D、③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+
π
6
）cos2x-
1
2
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移
π
8
個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）-k=0在區(qū)間[0，
π
2
]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是上頂點(diǎn)，點(diǎn)P（1，
3
2
）在橢圓上，且|PF1|+|PF2|=4．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若圓C的圓心在y軸上，且與直線AF2及x軸均相切，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a＞0），F(xiàn)（x）=
f(x) ， x≥0
-f(x) ， x＜0
若f（-1）=0，且對任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x+t，若函數(shù)F（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（-1，1）．動點(diǎn)P到點(diǎn)（0，
1
4
）的距離比P到y(tǒng)=-1的距離小
3
4
．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個(gè)點(diǎn)，且
PQ
=λ
OA
（λ＞0）．直線OP與QA交于點(diǎn)M．問：是否存在點(diǎn)P，使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=4S△PAM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y=x2-2ax，x∈[2，4]，求函數(shù)的最小值g（a）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：x2=2py（p＞0）與橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）在第一象限的公共點(diǎn)為A（2
2
，1），設(shè)拋物線C1的焦點(diǎn)為F，橢圓C2的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），△F1F2F的面積為6．
（Ⅰ）求拋物線C1和橢圓C2的方程；
（Ⅱ）設(shè)A1，A2為橢圓C2的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C2上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線l：x=
a2
c
，l與直線A1P，A2P分別交于點(diǎn)M，N，試探究：在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)D，若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）推廣（Ⅱ），得橢圓的一般性的正確命題，據(jù)此類比，得到雙曲線的一般性正確命題，請直接寫出這個(gè)雙曲線的正確命題（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將函數(shù)y=（sinx+cosx）2在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{an}．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令bn=2nan，其中n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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