Question

20．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且過(guò)點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$）．點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上．
（1）求雙曲線方程；
（2）求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，解得a=b，設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ，點(diǎn)代入求出參數(shù)λ的值，從而求出雙曲線方程，
（2）把點(diǎn)M（3，m）代入雙曲線，可解得$|m|=\sqrt{3}$，可得其面積．

解答 解：（1）由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，解得a=b，
設(shè)方程為x²-y²=λ，又雙曲線過(guò)點(diǎn)$（4，-\sqrt{10}）$，∴16-10=λ
解得λ=6，
∴雙曲線方程為：$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{6}=1$，…（6分）
（2）由點(diǎn)（3，m）在雙曲線上，得$\frac{9}{6}-\frac{{m}^{2}}{6}$=1，解得$|m|=\sqrt{3}$，
又${F_1}{F_2}=2c=2\sqrt{{a^2}+{b^2}}=4\sqrt{3}$，
所以△F₁MF₂的面積為$S=\frac{1}{2}4\sqrt{3}×\sqrt{3}=6$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．解答的關(guān)鍵是對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和向量運(yùn)算的應(yīng)用．