Question

【題目】已知函數是偶函數，且，.

（1）當時，求函數的值域；

（2）設R，求函數的最小值；

（3）對（2）中的，若不等式對于任意的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由函數是偶函數，可得，即可求出，進而可求出與的表達式，再由時，函數和都是單調遞增函數，可知函數在上單調遞增，從而可求出的值域；

（2），令，由（1）知，則，然后利用二次函數的單調性可求得的最小值；

（3）當時，，則，整理得，由于，則對于任意的恒成立，只需令大于在上的最大值，求解即可.

（1）因為函數是偶函數，所以，解得.

故，.

當時，函數和都是單調遞增函數，

故函數在上單調遞增，

，，

所以當時，函數的值域是.

（2）,

令，由（1）知，則，

因為二次函數開口向上，對稱軸為，

故時，在上單調遞增，最小值為；

時，在上單調遞減，在上單調遞增，最小值為；

時，在上單調遞減，最小值為8.

故函數的最小值.

（3）當時，，

則即，整理得，

因為，所以對于任意的恒成立，

令，

只需令大于在上的最大值即可.

在上任取，且，則，，

則，

當時，，則，即，故在上單調遞增；

當時，，則，即，故在上單調遞減；

所以函數在上的最大值為，

故.

所以實數的取值范圍是.