Question

7．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），上的點(diǎn)M（1，m）到其焦點(diǎn)F的距離為2，
（Ⅰ）求C的方程；并求其準(zhǔn)線方程；
（II）已知A （1，-2），是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與L的距離等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由拋物線的定義可知：|MF|=1-（-$\frac{p}{2}$）=2，解得p=2，則拋物線方程可得，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得其準(zhǔn)線方程．
（II）先假設(shè)存在符合題意的直線，設(shè)出其方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與拋物線方程有公共點(diǎn)，求得t的范圍，利用直線AO與L的距離，求得t，則直線l的方程可得．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可知：|MF|=1-（-$\frac{p}{2}$）=2，解得p=2，
因此，拋物線C的方程為y²=4x；其準(zhǔn)線方程為x=-1．…（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t，（OA的方程為：y=-2x）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+t\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得y²+2 y-2 t=0．…（7分）
因為直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，所以得△=4+8 t，解得t≥-1/2．…（8分）
另一方面，由直線OA與l的距離d=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，可得$\frac{|t|}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，解得t=±1．…（10分）
因為-1∉[-$\frac{1}{2}$，+∞），1∈[-$\frac{1}{2}$，+∞），所以符合題意的直線l 存在，其方程為2x+y-1=0．…（12分）

點(diǎn)評 本題小題主要考查了直線，拋物線等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類討論與整合思想．