Question

18．設(shè)f（x）=-x²-2x+1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}（x＞0）\\ 3-（\frac{1}{2}）^x（x≤0）\end{array}$，若函數(shù)y=g（f（x））-a恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （$\frac{5}{2}$，+∞）
• C． （2，$\frac{5}{2}$）
• D． [2，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 由題，y=g（f（x））的圖象與y=a的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，由于復(fù)合函數(shù)圖象不容易作圖，則用換元法將復(fù)合函數(shù)分解為兩個(gè)函數(shù)．令t=f（x），則y=g（t），由y=g（t）與y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，確定t的值及個(gè)數(shù)，再根據(jù)t的值確定t=f（x）的根x的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y=g（f（x））的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：令t=f（x）=-（x+1）²+2，t≤2，
則y=g（f（x））=g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{1}{t}，0＜t≤2}\\{3-（\frac{1}{2}）t，t≤0}\end{array}\right.$，
由題，y=g（f（x））-a的圖象恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，
等價(jià)于關(guān)于x的方程g（f（x））=a有4個(gè)不同的根，
等價(jià)于關(guān)于t的方程g（t）=a的根使得關(guān)于x的方程t=f（x）共有四個(gè)不同的根．
∵t=2時(shí)，y=2.5；且函數(shù)y=g（t）、t=f（x）的圖象如圖所示．
∴對(duì)a分類(lèi)如下：
①a=2時(shí)，t₁=1或t₂=0，
此時(shí)函數(shù)y=g（f（x））-a有四個(gè)零點(diǎn)，符合；
②2＜a＜2.5時(shí)，方程a=g（t）有兩個(gè)不同的根，且t₁∈（0，1）或t₂∈（1，2），
此時(shí)函數(shù)y=g（f（x））-a有四個(gè)零點(diǎn)，符合；
③a=2.5時(shí)，t₁=2或t₂=0.5
當(dāng)t=2時(shí)，方程t=f（x）有且只有一個(gè)根，當(dāng)t=0.5時(shí)，方程t=f（x）有兩個(gè)根，
故此時(shí)函數(shù)y=g（f（x））-a有三個(gè)零點(diǎn)，不符合；
④a＞2.5時(shí)，方程a=g（t）有且只有一個(gè)根，且t∈（0，1），
此時(shí)函數(shù)y=g（f（x））-a有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合；
⑤a＜2時(shí)，方程a=g（t）有且只有一個(gè)根，且t∈（-∞，0），
此時(shí)函數(shù)y=g（f（x））-a有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合；
綜上所述，當(dāng)2≤a＜2.5時(shí)，函數(shù)y=g（f（x））-a有四個(gè)零點(diǎn)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)零點(diǎn)的化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，復(fù)合函數(shù)用換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基礎(chǔ)函數(shù)，避免作復(fù)合函數(shù)的圖象，研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法．屬于中檔題．