Question

3．已知曲線f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$在x=0處的切線方程為y=x+b．
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)任意x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），f（x）＜$\frac{1}{m+6x-3{x}^{2}}$恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（0），f′（0），從而求出a，b的值即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m＞3x²-6x且m＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+3x²-6x，對(duì)任意x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得：f′（x）=$\frac{a（1-x）}{{e}^{x}}$，
∵曲線y=f（x）在x=0處的切線方程是y=b+b，
∴f′（0）=a=1，即a=1，又f（0）=0，從而b=0；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{m+6x-3{x}^{2}}$對(duì)任意x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）恒成立，
∴m＞3x²-6x對(duì)任意x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）恒成立，
從而m≥-$\frac{9}{4}$，
而不等式整理為：m＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+3x²-6x，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+3x²-6x，則g′（x）=（x-1）（$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+6），
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，$\frac{3}{2}$）遞增，
∴g（x）_min=g（1）=e-3，
∴m的范圍是[-$\frac{9}{4}$，e-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．