Question

已知函數(shù)f(x)=(

1

4

)x-(

1

2

)x（1≤x≤2）
（1）求(

1

2

)x（1≤x≤2）的取值范圍；
（2）求f（x）的值域；
（3）若不等式(

1

4

)x-(

1

2

)x+a≥0在[1，2]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求范圍；
（2）利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解；
（3）將a分離出來，然后求不等號(hào)右邊的函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（1）因?yàn)閥=(

1

2

)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，結(jié)合1≤x≤2，所以(

1

2

)2≤(

1

2

)x≤(

1

2

)1，即

1

4

≤(

1

2

)x≤

1

2

．
（2）令t=(

1

2

)x∈[

1

4

，

1

2

]．原函數(shù)化為：y=t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

．t∈[

1

4

，

1

2

]，
該函數(shù)在[

1

4

，

1

2

]上是減函數(shù)，所以當(dāng)t=

1

2

時(shí)ymin=-

1

4

，t=

1

4

時(shí)，ymax=-

3

16

，故f（x）的值域?yàn)?span id="vvnlx7v" class="MathJye">[-

1

4

，-

3

16

]．
（3）若(

1

4

)x-(

1

2

)x+a≥0在[1，2]上恒成立，即a≥-(

1

4

)x+(

1

2

)x=-[(

1

2

)x]2+(

1

2

)x．x∈[1，2]恒成立．
令t=(

1

2

)x∈[

1

4

，

1

2

]，則a≥-t2+t=-(t-

1

2

)2+

1

4

．t∈[

1

4

，

1

2

]恒成立，顯然當(dāng)t=

1

2

時(shí)，-t²+t取得最大值

1

4

．
故a的范圍是[

1

4

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，以及利用配方法求二次函數(shù)的最值的方法，不等式恒成立問題一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解．